Déterminer la primitive d'une fonction vérifiant une condition initiale donnée - Exemple

Exemple

Soit `f` définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=2x-3\). 
1. Déterminer toutes les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\).
2. Déterminer la primitive \(G\) de \(f\) sur \(\mathbb R\) qui vérifie \(G(2)=6\).
3. Déterminer la primitive \(H\) de \(f\) sur \(\mathbb R\) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées \((-1\ ;\ 4)\).

Solution

1. Les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\) sont les fonctions de la forme \(x \mapsto x^2-3x+C\), où \(C \in \mathbb{R}\).
2. Parmi les primitives de \(f\), on cherche la primitive \(G\) de \(f\) sur \(\mathbb R\) qui vérifie \(G(2)=6\).
Pour tout réel \(x\), \(G(x)=x^2-3x+C\) avec \(C \in \mathbb{R}\).
\(G(\color{blue}{2})=\color{red}{6} \Leftrightarrow \color{blue}{2}^2-3\times\color{blue}{2}+C=\color{red}{6}\)
\(\hphantom{G(\color{blue}{2})=\color{red}{6}} \Leftrightarrow 4-6+C=\color{red}{6}\)
\(\hphantom{G(\color{blue}{2})=\color{red}{6}} \Leftrightarrow -2+C=\color{red}{6}\)
\(\hphantom{G(\color{blue}{2})=\color{red}{6}} \Leftrightarrow C=8\)
La primitive \(G\) cherchée est définie sur \(\mathbb R\) par \(G(x)=x^2-3x+8\).
3. Parmi les primitives de \(f\), on cherche la primitive \(H\) de \(f\) sur \(\mathbb R\) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées \((-1\,;4)\), ce qui revient à dire que \(H(-1)=4\).
Pour tout réel \(x\), \(H(x)=x^2-3x+C\) avec \(C \in \mathbb{R}\).
\(H(\color{blue}{-1})=\color{red}{4} \Leftrightarrow \color{blue}{(-1)}^2-3\times\color{blue}{(-1)}+C=\color{red}{4}\)
\(\hphantom{H(\color{blue}{-1})=\color{red}{4}} \Leftrightarrow 1+3+C=\color{red}{6}\)
\(\hphantom{H(\color{blue}{-1})=\color{red}{4}} \Leftrightarrow 4+C=\color{red}{4}\)
\(\hphantom{H(\color{blue}{-1})=\color{red}{4}} \Leftrightarrow C=0\)
La primitive \(H\) cherchée est définie sur \(\mathbb R\) par \(H(x)=x^2-3x\).

On se place dans un repère du plan.
Sur le graphique ci-dessous, on peut visualiser les courbes représentatives des primitives de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\), et notamment celles des fonctions \(G\) et \(H\). La courbe de la primitive \(G\) de \(f\) vérifiant \(G(2) = 6\) est en rouge. La courbe de la primitive \(H\) de \(f\) vérifiant \(H(-1) = 4\) est en bleu.

Remarque

Dire qu'on cherche l'unique primitive \(F\) de \(f\) sur un intervalle \(I\) vérifiant la condition initiale \(F(x_0)=y_0\) revient à dire que, parmi les courbes représentatives des primitives de \(f\) sur \(I\), on cherche l'unique courbe représentative qui passe par le point \(\mathrm M_0\) de coordonnées \((x_0~;~y_0)\) dans un repère du plan.